Merk: det er sant at hver avgrenset sekvens inneholder en konvergent undersekvens, og videre konvergerer hver monoton sekvens hvis og bare hvis den er avgrenset. Lagt til Se oppføringen om Monotone Convergence Theorem for mer informasjon om garantert konvergens av avgrensede monotone sekvenser.
Konvergerer hver avgrenset sekvens i R?
Setningen sier at hver avgrenset sekvens i R har en konvergent undersekvens. En ekvivalent formulering er at en delmengde av R er sekvensielt kompakt hvis og bare hvis den er lukket og avgrenset. Teoremet kalles noen ganger det sekvensielle kompaktitetsteoremet.
Er hver avgrenset sekvens av reelle tall konvergent?
Svar og forklaring: (a) Er hver avgrenset sekvens konvergent? No.
Konvergerer hver avgrenset monoton sekvens?
Ikke alle avgrensede sekvenser, som (−1)n, converge, men hvis vi visste at den avgrensede sekvensen var monoton, ville dette endret seg. hvis an ≥ an+1 for alle n ∈ N. En sekvens er monoton hvis den enten øker eller avtar. og avgrenset, så konvergerer den.
Har alle avgrensede sekvenser en konvergent undersekvens?
Bolzano-Weierstrass-teoremet: Hver avgrenset sekvens i Rn har en konvergent undersekvens. av {xmk } er en avgrenset sekvens av reelle tall, så den har også en konvergent undersekvens, … Omvendt er hver avgrenset sekvens i enlukket og avgrenset sett, så det har en konvergent undersekvens.
