Et isolert punkt er stengt (ingen grensepunkter å inneholde). En endelig forening av lukkede sett er lukket. Derfor er hvert endelig sett lukket. (vi) Et åpent sett som inneholder hvert rasjonelt tall må nødvendigvis være hele R.
Kan lukkede sett ha isolerte punkter?
Kan et lukket sett ha en? Et åpent sett U kan ikke ha et isolert punkt fordi hvis x ∈ U og δ > 0 så inneholder (x − δ, x + δ) et intervall og inneholder derfor uendelig mange punkter av U. På den annen side, for any x, {x} er et lukket sett som har et isolert punkt, nemlig selve x.
Er enkeltpoeng stengt?
Og i alle metriske rom er settet som består av et enkelt punkt lukket, siden det ikke er noen grensepunkter for et slikt sett!
Er grensepunkter for isolerte poeng?
Et punkt p er et grensepunkt for S hvis hvert nabolag av p inneholder et punkt q ∈ S, hvor q=p. Hvis p ∈ S ikke er et grensepunkt for S, kalles det et isolert punkt for S. S er lukket hvis hvert grensepunkt for S er et punkt til S.
Er isolert punkt kontinuerlig?
En funksjon er kontinuerlig på hvert isolert punkt.
