Det første teoremet Pugh beviser når han definerer Riemann-integralet, er at integrerbarhet antyder begrensethet. Dette er teorem 15 på side 155 i min utgave. Dette viser at man først må bli enige om definisjoner.
Is Riemann integrerbar impliserer begrenset?
Setning 4. Hver Riemann-integrerbare funksjon er avgrenset.
Er ikke-avgrensede funksjoner integrerbare?
En uavgrenset funksjon er ikke Riemann integrerbar. I det følgende vil "integrerbar" bety "Riemann integrerbar, og "integral" vil bety "Riemann integral" med mindre annet er uttrykkelig angitt. f(x)={ 1/x hvis 0 < x ≤ 1, 0 hvis x=0. så de øvre Riemann-summene av f er ikke veldefinerte.
Er en Lebesgue-integrerbar funksjon begrenset?
Målbare funksjoner som er avgrenset tilsvarer Lebesgue-integrerbare funksjoner. Hvis f er en avgrenset funksjon definert på et målbart sett E med endelig mål. Da er f målbar hvis og bare hvis f er Lebesgue-integrerbar. … På den annen side er målbare funksjoner "nesten" kontinuerlige.
Hvordan vet du om en funksjon er Lebesgue-integrerbar?
Hvis f, g er funksjoner slik at f=g nesten over alt, så er f Lebesgue-integrerbar hvis og bare hvis g er Lebesgue-integrerbar, og integralene til f og g er det samme hvis de finnes.
