La P være en Sylow p-undergruppe av G. … Hvis G er enkel, har den 10 undergrupper av orden 3 og 6 undergrupper av orden 5. Men siden disse gruppene er alle sykliske av prime order, ethvert ikke-trivielt element av G er inneholdt i høyst én av disse gruppene.
Er P-grupper sykliske?
Den trivielle gruppen er den eneste gruppen av ordre en, og den sykliske gruppen C p er den eneste gruppen av orden p.
Er undergrupper sykliske?
Setning: Alle undergrupper av en syklisk gruppe er sykliske. Hvis G=⟨a⟩ er syklisk, så for hver divisor d av |G| det eksisterer nøyaktig én undergruppe av orden d som kan genereres av a|G|/d a | G | /d. Bevis: La |G|=dn | G |=d n.
Er P Sylow-undergrupper normale?
Hvis G har nøyaktig én Sylow p-undergruppe, må den være normal fra Unique Subgroup of a given Order er Normal. Anta at en Sylow p-undergruppe P er normal. Da er det lik konjugatene. Ved den tredje Sylow-setningen kan det derfor bare være én slik Sylow p-undergruppe.
Er sylow P-undergrupper abelske?
Vi beviser at Sylow p-undergrupper av en endelig gruppe G er abelian hvis og bare hvis klassestørrelsene til p-elementene til G alle er coprime til p, og, hvis p ∈ { 3, 5 }, er graden av hvert irreduserbart tegn i hoved-p-blokken til G coprime til p.